Биквадратные уравнения
Биквадратное уравнение — это уравнение вида где a, b и c — числа, причём a≠0.
Биквадратные уравнения решают введением новой переменной x²=t.
Рассмотрим решение биквадратных уравнений на конкретных примерах.
![Rendered by QuickLaTeX.com \[1)4{x^4} - 5{x^2} + 1 = 0\]](http://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-901e9c4f2804a228d7b85a60f9412081_l3.png)
Пусть ![Rendered by QuickLaTeX.com \[{x^2} = t,t \ge 0,\]](http://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9f791a67b3ce4363a32fe592ffaf7ad2_l3.png)
тогда
![Rendered by QuickLaTeX.com \[4{t^2} - 5t + 1 = 0\]](http://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-982c44ed8e84a72a4e41db8864193665_l3.png)
Получили квадратное уравнение. Дискриминант
![Rendered by QuickLaTeX.com \[D = {b^2} - 4ac\]](http://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3311fe6f7418b529799e9295d8d902bc_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[D = {( - 5)^2} - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 9\]](http://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7011d335de1cb03bf70dc41f675b3334_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[{t_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} = \frac{{5 \pm \sqrt 9 }}{{2 \cdot 4}} = \frac{{5 \pm 3}}{8}\]](http://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3c7c18b3db27a742b1199501ebdd2450_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[{t_1} = \frac{{5 + 3}}{8} = 1;{t_2} = \frac{{5 - 3}}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\]](http://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9d89e49dc2adb3f4f9b36b78019c824a_l3.png)
Оба корня удовлетворяют условию t≥0.
Возвращаемся к исходной переменной:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[{x^2} = 1;{x^2} = \frac{1}{4}\]](http://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4c07b53a97a1408615822411e744937e_l3.png)
Решаем неполные квадратные уравнения, и получаем корни
![Rendered by QuickLaTeX.com \[{x_1} = 1;{x_2} = - 1;{x_3} = \frac{1}{2};{x_4} = - \frac{1}{2}.\]](http://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9322566a205bc59c5c729c7c5e1250c9_l3.png)
Ответ: ![Rendered by QuickLaTeX.com \[ \pm 1; \pm \frac{1}{2}.\]](http://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-799b1e3894f4b897be776b2a471e8d8e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[2){x^4} - 2{x^2} - 8 = 0\]](http://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dac14e44ef560c5718eb6936786929ac_l3.png)
Замена
![Rendered by QuickLaTeX.com \[{x^2} = t,t \ge 0,\]](http://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9f791a67b3ce4363a32fe592ffaf7ad2_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[{t^2} - 2t - 8 = 0\]](http://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3bb156965ff00db9d2c78535992a134a_l3.png)
Так как b= -2 — чётное число, дискриминант можно найти по формуле дискриминанта, делённого на 4:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{{ - 2}}{2})^2} - 1 \cdot ( - 8) = 9\]](http://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d54bb24ac2c36ad0ac792b378f5b8c7d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[{t_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = \frac{{ - \frac{{ - 2}}{2} \pm \sqrt 9 }}{1} = 1 \pm 3\]](http://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-19a5c3beb0dfe863bc21fd22a11cf9e8_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[{t_1} = 4;{t_2} = - 2\]](http://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dcaebf03f22bf39f4aa851e45d30f09d_l3.png)
Второй корень не удовлетворяет условию t≥0. От корня t=4 возвращаемся к исходной переменной
![Rendered by QuickLaTeX.com \[{x^2} = 4\]](http://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b3d8ffb4d68e5e209eea1794a96f396b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[x = \pm 2\]](http://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8d593b6e333f123c53d3f704a939a0a8_l3.png)
Ответ: ±2. |